Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} - x$ heraus.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x$ heraus.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 5

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Schritt 7.6

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Schritt 7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Schritt 7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Schritt 7.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Schritt 7.8

Stelle $x^{- \frac{3}{2}}$ und $- x^{- 1}$ um.

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 10

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$