Analysis Beispiele

$\frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$ als Funktion.

$f (t) = \frac{(4 t + 8)}{t^{- 8}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (t)$ ermittelt wird.

$F (t) = \int f (t) d t$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (t) = \int \frac{4 t + 8}{t^{- 8}} d t$

Schritt 4

Bringe $t^{- 8}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int (4 t + 8) t^{8} d t$

Schritt 5

Multipliziere $(4 t + 8) t^{8}$ .

$\int 4 t \cdot t^{8} + 8 t^{8} d t$

Schritt 6

Multipliziere $t$ mit $t^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $t^{8}$ .

$\int 4 (t^{8} t) + 8 t^{8} d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $t^{8}$ mit $t$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int 4 (t^{8} t^{1}) + 8 t^{8} d t$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 t^{8 + 1} + 8 t^{8} d t$

Schritt 6.3

Addiere $8$ und $1$ .

$\int 4 t^{9} + 8 t^{8} d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 t^{9} d t + \int 8 t^{8} d t$

Schritt 8

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int t^{9} d t + \int 8 t^{8} d t$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{9}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{10} t^{10}$ .

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + \int 8 t^{8} d t$

Schritt 10

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + 8 \int t^{8} d t$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{8}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{9} t^{9}$ .

$4 (\frac{1}{10} t^{10} + C) + 8 (\frac{1}{9} t^{9} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{10}) t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{4}{10} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 12.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{10} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5} t^{10} + 8 (\frac{1}{9}) t^{9} + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{5} t^{10} + \frac{8}{9} t^{9} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (t) = \frac{4 t + 8}{t^{- 8}}$ .

$F (t) =$ $\frac{2}{5} t^{10} + \frac{8}{9} t^{9} + C$