Analysis Beispiele

$\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 1

Schreibe $\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ als Funktion.

$f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cot (x) (\sec (x) - \tan (x)) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \cot (x) \sec (x) + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 4.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\cot (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Schritt 4.3

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Stelle $\cot (x)$ und $- \tan (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x) \cot (x) d x$

Schritt 4.3.2

Füge Klammern hinzu.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\tan (x) \cot (x)) d x$

Schritt 4.3.3

Stelle $\tan (x)$ und $\cot (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\cot (x) \tan (x)) d x$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\cot (x) (- \tan (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) d x$

Schritt 4.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc (x) - 1 \cdot 1 d x$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int \csc (x) - 1 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \csc (x) d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Das Integral von $\csc (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C + \int - 1 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C - x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$