Analysis Beispiele

$\sin (\ln (x))$

Schritt 1

Schreibe $\sin (\ln (x))$ als Funktion.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Schritt 4

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Schritt 5

Stelle $e^{u}$ und $\sin (u)$ um.

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \sin (u)$ und $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Schritt 7

Stelle $e^{u}$ und $\cos (u)$ um.

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \cos (u)$ und $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Schritt 10

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ mit $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Schritt 11

Wenn nach $\int e^{u} \sin (u) d u$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Schritt 12

Schreibe $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Schritt 14.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Schritt 14.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

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Schritt 14.4.1

Kombiniere $\sin (\ln (x))$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Schritt 14.4.2

Kombiniere $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ und $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Schritt 14.5

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

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Schritt 14.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Schritt 14.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Schritt 14.6

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ um.

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Schritt 15

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$