Analysis Beispiele

$\sec^{3} (θ)$

Schritt 1

Schreibe $\sec^{3} (θ)$ als Funktion.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Schritt 2

Die Funktion $F (θ)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (θ)$ ermittelt wird.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Schritt 4

Faktorisiere $\sec (θ)$ aus $\sec^{3} (θ)$ heraus.

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (θ)$ und $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Schritt 6

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 7

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 9.2

Stelle $\tan^{2} (θ)$ und $\sec (θ)$ um.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Schritt 10

Schreibe $\tan^{2} (θ)$ in $- 1 + \sec^{2} (θ)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Schritt 11

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 11.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Schritt 11.3

Stelle $\sec (θ)$ und $- 1$ um.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Schritt 12

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 13

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Schritt 16

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Schritt 18

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Schritt 19

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Schritt 20

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Schritt 21

Das Integral von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Schritt 22

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Schritt 22.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Schritt 23

Wenn nach $\int \sec^{3} (θ) d θ$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Schritt 24

Mutltipliziere $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Schritt 25

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Schritt 26

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$