Analysis Beispiele

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Schritt 4.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Schritt 4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Schritt 4.4.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Schritt 4.4.6.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{7}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$