Analysis Beispiele

$\frac{6}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{6}{x^{2} + 4}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 4}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$6 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$6 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$6 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Schritt 7.2

Schreibe $6 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ um.

$6 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$3 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{6}{x^{2} + 4}$ .

$F (x) =$ $3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$