Analysis Beispiele

$1 + \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $1 + \sin (x) \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 1 + \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 6

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + \int u d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$x + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$