Analysis Beispiele

$6 e^{3 x} + 4$

Schritt 1

Schreibe $6 e^{3 x} + 4$ als Funktion.

$f (x) = 6 e^{3 x} + 4$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 6 e^{3 x} + 4 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Schritt 6

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int 4 d x$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int 4 d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int 4 d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$\frac{6}{3} \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int e^{u} d u + \int 4 d x$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int 4 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$2 (e^{u} + C) + 4 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$2 e^{u} + 4 x + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 e^{3 x} + 4 x + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 6 e^{3 x} + 4$ .

$F (x) =$ $2 e^{3 x} + 4 x + C$