Analysis Beispiele

$f^{4} (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\frac{6}{\sqrt{x}} = f^{4} x$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$f^{4} x \cdot (\sqrt{x}) = 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Faktoren in $f^{4} x (\sqrt{x})$ um.

$f^{4} x \sqrt{x} = 6$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(f^{4} x \sqrt{x})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(f^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(f^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(f^{4} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(f^{4} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(f^{4} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(f^{4} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(f^{4} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(f^{4} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $f^{4} x^{\frac{3}{2}}$ an.

${(f^{4})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(f^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4 \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{8} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{8} x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{8} x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{8} x^{3} = 6^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f^{8} x^{3} = 36$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $f^{8} x^{3} = 36$ durch $f^{8}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $f^{8} x^{3} = 36$ durch $f^{8}$ .

$\frac{f^{8} x^{3}}{f^{8}} = \frac{36}{f^{8}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{8}$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{8} x^{3}}{f^{8}} = \frac{36}{f^{8}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{36}{f^{8}}$

Schritt 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{36}{f^{8}}}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{36}{f^{8}}}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\frac{36}{f^{8}}$ als ${(\frac{1}{f^{2}})}^{3} \frac{36}{f^{2}}$ um.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $36$ heraus.

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} \cdot 36}{f^{8}}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(f^{2})}^{3}$ aus $f^{8}$ heraus.

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} \cdot 36}{{(f^{2})}^{3} f^{2}}}$

Schritt 5.3.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} \cdot 36}{{(f^{2})}^{3} f^{2}}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{f^{2}})}^{3} \frac{36}{f^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1}{f^{2}} \sqrt[3]{\frac{36}{f^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{36}{f^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{f^{2}}}$ um.

$x = \frac{1}{f^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{f^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Kombinieren.

$x = \frac{1 \sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\sqrt[3]{36}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.3.7.2

Bewege $\sqrt[3]{f^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} (\sqrt[3]{f^{2}} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2})}$

Schritt 5.3.7.3

Potenziere $\sqrt[3]{f^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} ({\sqrt[3]{f^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2})}$

Schritt 5.3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.3.7.5

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{3}}$

Schritt 5.3.7.6

Schreibe ${\sqrt[3]{f^{2}}}^{3}$ als $f^{2}$ um.

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Schritt 5.3.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{f^{2}}$ als $f^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {(f^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.3.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.3.7.6.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 5.3.7.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{6}{3}}}$

Schritt 5.3.7.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.3.7.6.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 5.3.7.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.6.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Schritt 5.3.7.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Schritt 5.3.7.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 5.3.7.6.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{2}}$

Schritt 5.3.8

Multipliziere $f^{2}$ mit $f^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2 + 2}}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(f^{2})}^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{{(f^{2})}^{2}}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(f^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{2 \cdot 2}}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{4}}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9.3

Faktorisiere $f^{3}$ aus.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{3} f}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} f \sqrt[3]{f}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.9.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{f \sqrt[3]{36 f}}{f^{4}}$

Schritt 5.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $f$ und $f^{4}$ .

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Schritt 5.3.10.1

Faktorisiere $f$ aus $f \sqrt[3]{36 f}$ heraus.

$x = \frac{f (\sqrt[3]{36 f})}{f^{4}}$

Schritt 5.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.10.2.1

Faktorisiere $f$ aus $f^{4}$ heraus.

$x = \frac{f (\sqrt[3]{36 f})}{f \cdot f^{3}}$

Schritt 5.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{f \sqrt[3]{36 f}}{f \cdot f^{3}}$

Schritt 5.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{36 f}}{f^{3}}$

Schritt 6

Um als Funktion von $f$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $x$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $f$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (f) = \frac{\sqrt[3]{36 f}}{f^{3}}$