Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} (x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$ als $\frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - x^{3}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Stelle $x^{2}$ und $- x^{3}$ um.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 2.1.2.2

Der Grenzwert bei minus unendlich eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient negativ ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Exponent $- 2 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 2.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 2.3.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Schritt 2.3.10

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} + 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + x \cdot 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x \cdot 2$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x + 2)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 3 x + 2)}{(2) e^{- 2 x}}$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) + 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.7

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) - 1 (- 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 2)$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.9

Schreibe $- (3 x - 2)$ als $- 1 (3 x - 2)$ um.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 1 (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} - - \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} 1 \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $\frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot 3 x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Vertauschen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x - 2 \cdot x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x^{1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1 + 1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{2} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.2.7

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 4.1.3

Da der Exponent $- 2 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 x}$ $\infty$ an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.8

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot x + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + (3 x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $3 x - 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 3 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.12

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 4.3.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 4.3.13.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 4.3.13.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 4.3.14

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Schritt 4.3.17

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x - 2$ und $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x + 2 (- 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- 2 x}$ heraus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

Schritt 4.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x - 1}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

Schritt 5.1.2

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

Schritt 5.1.3

Da die Funktion $e^{- 2 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $- 1$ entfernt.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Schritt 5.1.3.2

Da der Exponent $- 2 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 2 x}$ $\infty$ an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 5.1.3.3

Da die Funktion $e^{- 2 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 5.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 5.2

Da $\frac{- \infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- 2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 5.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 5.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 5.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \cdot 1}$

Schritt 5.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$0$