Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Schritt 1

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Schritt 2

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Schritt 2.4

Da $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Schritt 4

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Schritt 4.1.1.2

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Schritt 4.1.1.3

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 4.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 4.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 4.1.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Schritt 4.2

Schreibe $- \csc^{2} (x) x$ als $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.3.1.2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.3.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.3.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.3.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.3.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.3.3.6

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Schritt 4.3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Schritt 4.3.3.8

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Schritt 4.3.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Schritt 4.3.3.10

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Schritt 4.3.3.11

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.11.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Schritt 4.3.3.11.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Schritt 4.3.3.11.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.3.3.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.3.3.11.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.3.3.11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.3.3.11.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3.3.11.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.3.4

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.3.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Schritt 4.3.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Schritt 4.4

Da die Funktion $\csc (2 x)$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

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Schritt 4.4.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $- 1$ entfernt.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Schritt 4.4.2

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\infty$

Schritt 4.4.3

Da die Funktion $\csc (2 x)$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

$- \infty$

Schritt 5

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$