Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} x \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\infty \cdot \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\infty \cdot \cos (0)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\infty \cdot 1$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\infty$ mit $1$ .

$\infty$