Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Schritt 1.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (\sec (x))$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.5

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Schritt 3.8

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.9

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Schritt 3.10

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.1.1

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Schritt 3.11.1.2

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Schritt 3.11.1.3

Schreibe $2 \cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Schritt 3.11.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Schritt 3.11.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.11.4

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Schritt 5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ nach $x \cot (x)$ um.

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Schritt 8

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Schritt 9

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Schritt 10

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$1$

Schritt 11

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Schritt 12

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Schritt 13

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$1$