Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{5 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) - 1]}$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sin (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) - 1]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) - 1]}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos^{2} (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.5.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x) + 0}$

Schritt 3.7

Addiere $- 2 \cos (x) \sin (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{5}{- 2 \sin (x)}$

Schritt 5

Da die Funktion von links gegen $\infty$ geht und von rechts gegen $- \infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$