Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert von $\sin^{-1} (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.2

Der genau Wert von $\sin^{-1} (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin^{-1} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 9}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{1}{9}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Schritt 5.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 5.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 7.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1}}$

Schritt 7.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{9 \cdot 1}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{9}$