Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x^{2} + 4 x - 7}{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.6

Addiere $4 x + 4$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.10

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + 0}$

Schritt 3.11

Addiere $3 x^{2} + 6 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \cdot 0 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 9.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 \cdot 0 + 4 \cdot 0$ und $3 + 6 \cdot 0$ .

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Schritt 11.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot 4$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot 4$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Schritt 11.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 6 \cdot 0}$

Schritt 11.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6 \cdot 0$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 3 (2 \cdot 0)}$

Schritt 11.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (2 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Schritt 11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Schritt 11.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 11.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 11.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$