Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

Schritt 1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.6

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + 0}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1}$

Schritt 4

Dividiere $2 x + 2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x + 2$

Schritt 5

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\infty$