Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $121$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $11$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Addiere $0$ und $121$ .

$\frac{\sqrt{121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{11^{2}} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{11 - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{11 - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $11$ von $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x + 121} - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}]$ .

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 121}$ als ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 121)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 121$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 121$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.5

Da $121$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $121$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.3.14

Bringe ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.4

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.5

Addiere $\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + 121}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x + 121}}$ mit $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $121$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 14

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Schritt 15

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0))}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Schritt 17.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.3.1

Addiere $0$ und $121$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{121} \sec^{2} (0)}$

Schritt 17.3.2

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \sqrt{11^{2}} \sec^{2} (0)}$

Schritt 17.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \sec^{2} (0)}$

Schritt 17.3.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1^{2}}$

Schritt 17.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1}$

Schritt 17.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 17.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\frac{1}{22 \cdot 1}$

Schritt 17.3.6.2

Mutltipliziere $22$ mit $1$ .

$\frac{1}{22}$