Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.3

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} x$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (x)}$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\ln (x)}$ $0$ .

$0$