Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Schritt 1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Schritt 1.2.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Schritt 3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \cdot 8}$

Schritt 3.8

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cdot \cos (8 x)}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $8$ mit $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cos (8 x)}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{8 \cos (8 x)}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} + 1}$ mit $\frac{1}{8 \cos (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (8 \cos (8 x))}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{8}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Schritt 13

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Schritt 14

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{8 ((0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0))}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Schritt 16.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cos (0)}$

Schritt 16.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{8 (0 + 1) \cos (0)}$

Schritt 16.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1 \cos (0)}$

Schritt 16.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{8 \cos (0)}$

Schritt 16.3.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{8}$