Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - 5^{x} - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{6 - 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 - 5 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.6.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6^{x} - 5^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6

Addiere $6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + 0}$

Schritt 3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $\ln (6)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 9

Ziehe den Term $\ln (5)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) lim_{x \to 1} 5^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{1}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Dividiere $\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6 - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Schritt 12.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (6 \cdot \ln (6) - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Schritt 12.2.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - \ln (5) \cdot 5)$

Schritt 12.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - 5 \ln (5))$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6)) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \ln (6)$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Schritt 12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (6) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Schritt 12.5

Multipliziere $\frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5}{2} \ln (5)$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $\ln (5)$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5 \ln (5)}{2}$

Schritt 12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \ln (6) - \frac{5 \ln (5)}{2}$