Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.1.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{49 + 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.1.3

Addiere $49$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{49} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{49 - x^{2}} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{49 - x^{2}}$ als ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 49 - x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $49 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.4

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.13

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.16

Kombiniere $\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.17

Bringe ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 x}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.18

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 ({(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.5

Addiere $- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Schritt 3.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 5

Schreibe ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{49 - x^{2}}$ um.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0} \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\frac{1}{9}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}}}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0^{2}}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0}}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 + 0}}$

Schritt 15.1.3

Addiere $49$ und $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49}}$

Schritt 15.1.4

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{7^{2}}}$

Schritt 15.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{7}$

Schritt 15.2

Dividiere $0$ durch $7$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 0$

Schritt 15.3

Multipliziere $- \frac{1}{9} \cdot 0$ .

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{9})$

Schritt 15.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{9}$ .

$0$