Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Schritt 1.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{1 + x^{2}}}$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{x^{2} + 1}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} (- 1 + \sec^{2} (x)) (x^{2} + 1)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$(- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$(- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot (0^{2} + 1)$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Stelle $- 1$ und $\sec^{2} (0)$ um.

$(\sec^{2} (0) - 1) \cdot (0^{2} + 1)$

Schritt 14.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (0) \cdot (0^{2} + 1)$

Schritt 14.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$0^{2} \cdot (0^{2} + 1)$

Schritt 14.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot (0^{2} + 1)$

Schritt 14.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot (0 + 1)$

Schritt 14.6

Addiere $0$ und $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 14.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$