Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Schritt 1.3.3.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.7

Da $- \frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + 0}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\cos (x) + \sin (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.41421356 \dots$