Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Schritt 1.3.3.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Schritt 3.7

Da $- \frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\csc^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 11.1.6

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 11.1.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 11.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 11.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 11.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 11.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2^{1}$

Schritt 11.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$2 + 2$

Schritt 11.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$