Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.5.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.5

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.6

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.7.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.15

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 3.17

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.19

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Schritt 3.20

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 4.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Schritt 5

Vereine die Terme

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Schritt 5.1

Um $\frac{1}{\sqrt{x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Schritt 5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{x} \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{\sqrt{x} \cdot 2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Schritt 5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{x}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 13

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{1}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Dividiere $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}})$

Schritt 15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 0}{\sqrt{1}})$

Schritt 15.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}})$

Schritt 15.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Schritt 15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$