Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{\cos (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{π}{2} - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.4

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2}{- \sin (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{- \sin (x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{1}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Schritt 6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Schritt 6.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})}$ nach $\csc (\frac{π}{2})$ um.

$2 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 6.4

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2$