Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.3.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Schritt 1.3.3

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Schritt 1.3.4

Unendlich plus Unendlich ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.6

Addiere $8 x - 5$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{5 x} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Schritt 3.8.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.8.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.8.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.9

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 3.10

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + 5 e^{5 x}}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $5 e^{5 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + \frac{5 e^{5 x} x}{x}}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1 + 5 e^{5 x} x}{x}}$

Schritt 5

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} (8 x - 5) \frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8 x - 5$ mit $\frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} (8 x - 5) x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x \cdot x - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x^{1}) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{1 + 1} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.2.6

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Schritt 6.1.3.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 6.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 6.1.3.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 6.1.3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.3.3.1

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot \infty}$

Schritt 6.1.3.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.3.2.1.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{\infty}{1 + \infty \cdot \infty}$

Schritt 6.1.3.3.2.1.2

Unendlich mal Unendlich ist Unendlich.

$\frac{\infty}{1 + \infty}$

Schritt 6.1.3.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 6.1.3.3.2.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 6.1.3.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 6.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 6.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 8 x - 5$ und $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $8 x - 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.9

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.10

Addiere $8$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \cdot 8}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.11

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 8 \cdot x}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.12

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 e^{5 x} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.15

Berechne $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

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Schritt 6.3.15.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{5 x} x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]}$

Schritt 6.3.15.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{5 x}$ und $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Schritt 6.3.15.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Schritt 6.3.15.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 6.3.15.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 6.3.15.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 6.3.15.4.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 6.3.15.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Schritt 6.3.15.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Schritt 6.3.15.7

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Schritt 6.3.15.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} \cdot 5))}$

Schritt 6.3.15.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (5 e^{5 x}))}$

Schritt 6.3.16

Vereinfache.

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Schritt 6.3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 5 (x (5 e^{5 x}))}$

Schritt 6.3.16.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.16.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 25 (x (e^{5 x}))}$

Schritt 6.3.16.2.2

Addiere $0$ und $5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}}$

Schritt 6.3.16.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}}$

Schritt 6.3.16.4

Stelle die Faktoren in $25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 16 x - 5}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.1.4

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.3

Da die Funktion $e^{5 x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $5$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 7.1.3.3.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $5$ entfernt.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Schritt 7.1.3.3.2

Da der Exponent $5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{5 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}$

Schritt 7.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.3.4.1.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty \cdot \infty + \infty}$

Schritt 7.1.3.4.1.2

Unendlich mal Unendlich ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Schritt 7.1.3.4.2

Unendlich plus Unendlich ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.3.4.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 7.3.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.5

Addiere $16$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}]$ .

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Schritt 7.3.7.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x e^{5 x}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 7.3.7.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.7.9

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Schritt 7.3.8.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{5 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Schritt 7.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 7.3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 7.3.8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 7.3.8.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 7.3.8.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 7.3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Schritt 7.3.8.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Schritt 7.3.8.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (5 \cdot e^{5 x})}$

Schritt 7.3.8.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 25 e^{5 x}}$

Schritt 7.3.9

Vereinfache.

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Schritt 7.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Schritt 7.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.9.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 (x (e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Schritt 7.3.9.2.2

Addiere $25 e^{5 x}$ und $25 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Schritt 7.3.9.3

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}}$

Schritt 7.3.9.4

Stelle die Faktoren in $125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 lim_{x \to \infty} \frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$ $0$ .

$16 \cdot 0$

Schritt 10

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$0$