Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} (x)}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere $0^{6}$ mit $0$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1.1

Mutltipliziere $0^{6}$ mit $0$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Potenziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0^{1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0^{6 + 1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{0^{7}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{6^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3.2

Multipliziere $x^{6}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} x^{1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6 + 1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3.2.2

Addiere $6$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + 0}$

Schritt 3.7

Addiere $6^{x} \ln (6)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{7}{\ln (6)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7}{\ln (6)} lim_{x \to 0} \frac{x^{6}}{6^{x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{0}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombinieren.

$\frac{7 \cdot 0^{6}}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Schritt 9.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Schritt 9.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 1}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{\ln (6) \cdot 1}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\ln (6)$ mit $1$ .

$\frac{0}{\ln (6)}$

Schritt 9.6

Dividiere $0$ durch $\ln (6)$ .

$0$