Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $6$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.2.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $6$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\infty + 5 lim_{x \to \infty} e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.4

Da der Exponent $- x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $0$ an.

$\frac{\infty + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $\infty$ und $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Schritt 1.3.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $7$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $7$ entfernt.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Schritt 1.3.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Schritt 1.3.3

Berechne den Grenzwert von $4 e$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty + 4 e}$

Schritt 1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 e^{x} + 5 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 e^{x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{- x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 e^{x} + 4 e$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Schritt 3.7

Da $4 e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + 0}$

Schritt 3.8

Addiere $7 e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x}}$