Analysis Beispiele

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (5 θ) - 1}{\sin (6 θ)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (5 θ) - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (5 θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} 5 θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{\cos (5 lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (5 lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{\cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (6 θ)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 6 θ)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{0}{\sin (6 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (5 θ) - 1}{\sin (6 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (5 θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (5 θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (5 θ) - 1$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\cos (5 θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (5 θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [\cos (5 θ)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = 5 θ$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [5 θ] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [5 θ] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (5 θ) \frac{d}{d θ} [5 θ] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $5 θ$ nach $θ$ gleich $5 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (5 θ) (5 \frac{d}{d θ} [θ]) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (5 θ) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (5 θ) \cdot 5 + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.5

Addiere $- 5 \sin (5 θ)$ und $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (6 θ)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 6 θ$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [6 θ]}$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [6 θ]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $6 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [6 θ]}$

Schritt 3.7

Da $6$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $6 θ$ nach $θ$ gleich $6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\cos (6 θ) (6 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\cos (6 θ) (6 \cdot 1)}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{\cos (6 θ) \cdot 6}$

Schritt 3.10

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (6 θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{6 \cdot \cos (6 θ)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $6$ mit $\cos (6 θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 5 \sin (5 θ)}{6 \cos (6 θ)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{- 5}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 5}{6} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (5 θ)}{\cos (6 θ)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (5 θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (6 θ)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} 5 θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (6 θ)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (6 θ)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 6 θ)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (6 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $θ$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{\cos (6 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{6} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- \frac{5}{6} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 11.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{5}{6} \cdot \frac{0}{\cos (6 \cdot 0)}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$- \frac{5}{6} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Schritt 11.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{5}{6} \cdot \frac{0}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{5}{6} \cdot 0$

Schritt 11.5

Multipliziere $- \frac{5}{6} \cdot 0$ .

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{5}{6})$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{6}$ .

$0$