Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.6

Berechne den Grenzwert von $0$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 0) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.7.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.2.7.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (\frac{π}{2} - h) - 0$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = \cos (h)$ und $g (h) = \frac{π}{2} - h$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π}{2} - h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- h$ nach $h$ gleich $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\sin (\frac{π}{2} - h)$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.4.2

Da $0$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.5

Addiere $\sin (\frac{π}{2} - h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{1}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $- h$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h \cdot \frac{2}{2})}{1}$

Schritt 4.2

Kombiniere $- h$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{- h \cdot 2}{2})}{1}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})}{1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Dividiere $\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} \sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{h \to 0} \frac{π - h \cdot 2}{2})$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π - h \cdot 2)$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{h \to 0} h)))$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $- (2 \cdot 0)$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Schritt 7.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} π)$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Schritt 7.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1$