Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{\tan (x - 3)}{3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} \tan (x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\tan (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\tan (3 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\tan (3 - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 3}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 e^{3 - 3} - 3}$

Schritt 1.3.7.1.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Schritt 1.3.7.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Schritt 1.3.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.3.7.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{\tan (x - 3)}{3 e^{x - 3} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\sec^{2} (x - 3)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3} - x]}$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{x - 3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 3}]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x - 3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 \frac{d}{d x} [e^{x - 3}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 3.9.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 (e^{x - 3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.9.7

Mutltipliziere $e^{x - 3}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.10.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sec^{2} (x - 3)}{3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sec^{2} (x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x - 3)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} \sec (x - 3))}^{2}}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - 1}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 3} 3 e^{x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 lim_{x \to 3} e^{x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sec^{2} (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}{3 e^{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\sec^{2} (3 - 3)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.1.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\sec^{2} (0)}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1^{2}}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3 e^{3 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3 e^{3 - 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{3 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Schritt 16.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 - 1}$

Schritt 16.2.6

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2}$