Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + e^{x} - 3}{7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2 e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2 + 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 + 1 - 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.2.8.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{7 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{7 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{7 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{7 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{7 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{7 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{7 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{7 e^{0} - 6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1 - 6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{0}{7 - 6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{7 - 6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{0}{7 - 6 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{7 - 6 - 1}$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.9.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + e^{x} - 3}{7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{2 x} + e^{x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.6

Addiere $4 e^{2 x} + e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 e^{2 x} - 6 e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{2 x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{7 (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{14 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{14 e^{2 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{14 e^{2 x} - 6 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{14 e^{2 x} - 6 e^{x} + 0}$

Schritt 3.11

Addiere $14 e^{2 x} - 6 e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + e^{x}}{14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} + e^{x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - 6 e^{x}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 14 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x}}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x}}$

Schritt 13

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 6 e^{x}}$

Schritt 14

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 15

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} + e^{lim_{x \to 0} x}}{14 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} + e^{0}}{14 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 6 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} + e^{0}}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 16.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} + e^{0}}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4 e^{0} + e^{0}}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + e^{0}}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 + e^{0}}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4 + 1}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.1.5

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{5}{14 e^{2 \cdot 0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{5}{14 e^{0} - 6 e^{0}}$

Schritt 17.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{5}{14 \cdot 1 - 6 e^{0}}$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$\frac{5}{14 - 6 e^{0}}$

Schritt 17.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{5}{14 - 6 \cdot 1}$

Schritt 17.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{5}{14 - 6}$

Schritt 17.2.6

Subtrahiere $6$ von $14$ .

$\frac{5}{8}$