Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\tan^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 3.7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.8.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.2.9.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 5.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 5.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 5.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.6.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1^{2} \cdot \tan (0)}$

Schritt 5.1.3.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (0)}$

Schritt 5.1.3.6.3

Mutltipliziere $\tan (0)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 5.1.3.6.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\sec^{2} (x) \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 5.3.3.1

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x})}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $e^{x} (2 x)$ und $2 x e^{x}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.5.2.2

Addiere $2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.5.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 5.3.7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 5.3.8

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 5.3.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 5.3.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 5.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 5.3.9.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 5.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 5.3.11

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Schritt 5.3.12

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 5.3.13

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 5.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 5.3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 5.3.16

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}$

Schritt 5.3.17

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}$

Schritt 5.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.19

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 5.3.20

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

Schritt 6.12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.14

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.15

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.16

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.17

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 6.18

Ziehe den Exponenten $4$ von $\sec^{4} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

Schritt 6.19

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.8

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2 \cdot 1}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.9

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.1.10

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + \sec^{4} (0)}$

Schritt 8.2.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + 1^{4}}$

Schritt 8.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + 1}$

Schritt 8.2.9

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Schritt 8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$