Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\tan ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (x^{2}) (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\sec (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.5

Multipliziere $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cdot \cos (2 x)}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ mit $\frac{1}{2 \cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x^{2})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{{(lim_{x \to 0} \cos (x^{2}))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 14.2

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$

Schritt 14.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$ nach $\sec^{2} (0^{2})$ um.

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.6

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (0)}$ nach $\sec (0)$ um.

$\frac{0}{1} \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.9

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.10

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 \sec^{2} (0^{2})$

Schritt 14.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \sec^{2} (0)$

Schritt 14.12

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1^{2}$

Schritt 14.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 \cdot 1$

Schritt 14.14

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$