Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 1.3.1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{1 - e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0^{2}}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren von $\cos (3 x^{2}) (6 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.9.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 3.9.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 3.9.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Schritt 3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} (2 x))}$

Schritt 3.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 (e^{x^{2}} (x))}$

Schritt 3.9.5

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 e^{x^{2}} x}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Subtrahiere $2 e^{x^{2}} x$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 e^{x^{2}} x}$

Schritt 3.10.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{x^{2}} x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x \cos (3 x^{2})$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x e^{x^{2}}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{0^{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{- e^{0^{2}}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{- e^{0^{2}}}$

Schritt 14.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{1}{- e^{0^{2}}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \frac{1}{- e^{0}}$

Schritt 14.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Schritt 14.4

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3$