Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.7.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.7.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}$

Schritt 1.3.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (1 - x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{1 - x}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Schritt 3.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Schritt 3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Schritt 3.7.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}$

Schritt 3.7.6

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Addiere $0$ und $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 3.8.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Schritt 3.8.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3.8.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 4

Da die Funktion von links gegen $\infty$ geht und von rechts gegen $- \infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$