Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Schritt 3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) \cdot 3}$

Schritt 3.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{3 \cdot \cos (3 x)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{3 \cos (3 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 13.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14.1.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 0}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0)}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Schritt 14.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Schritt 14.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$0$