Analysis Beispiele

$f (x) = 5 - | x - 5 |$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - | x - 5 |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

Schritt 1.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- | x - 5 |$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.1.2.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + 0))$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ mit $1$ .

$0 - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$ .

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x - 5 | = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 5 = \pm 0$

Schritt 3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Werte $5 - | x - 5 |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$5 - | (5) - 5 |$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5 - | 0 |$

Schritt 4.1.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$5 - 0$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(5, 5)$

Schritt 5