Analysis Beispiele

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ als ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 1.1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.13

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.15

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Schritt 1.1.2.16

Kombiniere $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Schritt 1.1.2.17

Bringe ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.18

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ als ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $2 - x^{3}$ gleich $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} = - 2$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Schritt 3.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{2}$

Schritt 4

Werte $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Schritt 4.1.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Schritt 4.1.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \sqrt[3]{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt[3]{2}$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Schritt 4.2.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $\sqrt[3]{2}$ und $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Schritt 5