Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 1.1.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 1.1.5.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.2.2

Stelle die Faktoren in $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ um.

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.4

Faktorisiere $3 e^{x} x^{4}$ aus $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ heraus.

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Schritt 1.1.6.4.1

Faktorisiere $3 e^{x} x^{4}$ aus $3 e^{x} x^{5}$ heraus.

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.4.2

Faktorisiere $3 e^{x} x^{4}$ aus $- 15 e^{x} x^{4}$ heraus.

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.4.3

Faktorisiere $3 e^{x} x^{4}$ aus $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ heraus.

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{10}$ .

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Schritt 1.1.6.5.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ heraus.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

Schritt 1.1.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.5.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 1.1.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 1.1.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 e^{x} (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 5$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{6} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

Schritt 5