Analysis Beispiele

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $U e^{t} + V e^{- t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $U$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $U e^{t}$ nach $t$ gleich $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $V$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $V e^{- t}$ nach $t$ gleich $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- t$ .

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

Schritt 1.1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{t} U - e^{- t} V$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{t} U - e^{- t} V$ um.

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $F (t)$ nach $t$ ist $U e^{t} - V e^{- t}$ .

$U e^{t} - V e^{- t}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $t$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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