Analysis Beispiele

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Schritt 1.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Schritt 1.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 32 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 32 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ heraus.

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.3.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Schritt 3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 16$

Schritt 3.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 4, x = 4$

Schritt 4

Werte $| x^{2} - 16 |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| 0 - 16 |$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$| - 16 |$

Schritt 4.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 16$ und $0$ ist $16$ .

$16$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| 16 - 16 |$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$| 0 |$

Schritt 4.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| 16 - 16 |$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$| 0 |$

Schritt 4.3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Schritt 5