Analysis Beispiele

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 9 x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x^{2} + 25$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.2.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

Schritt 1.1.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $- 18 x$ und $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

Schritt 1.1.3.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 36$ .

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

Schritt 1.1.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

Schritt 1.1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

Schritt 1.1.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

Schritt 1.1.3.3.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $25$ .

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $324 x^{3} - 900 x$ .

$324 x^{3} - 900 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $324 x^{3} - 900 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$324 x^{3} - 900 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $36 x$ aus $324 x^{3} - 900 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $36 x$ aus $324 x^{3}$ heraus.

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $36 x$ aus $- 900 x$ heraus.

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $36 x$ aus $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ heraus.

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 5$ .

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 5$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 2.6

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

${(0 + 25)}^{2}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $25$ .

$25^{2}$

Schritt 4.1.2.2.2

Potenziere $25$ mit $2$ .

$625$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{5}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{3}$ an.

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{5}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Schritt 5