Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $14 x$ von $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Addiere $12 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x \ln (x) = 12 x$ durch $4 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \ln (x) = 12 x$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Schritt 2.3.3.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\ln (x) = 3$

Schritt 2.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Schritt 2.5

Schreibe $\ln (x) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Schritt 2.6

Schreibe die Gleichung als $x = e^{3}$ um.

$x = e^{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = e^{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $e^{3}$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $7 e^{6}$ von $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(e^{3}, - e^{6})$

Schritt 5