Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 15}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t^{2} + 15$ .

$\frac{(t^{2} + 15) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 15) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $t^{2} + 15$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 15$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [15])}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t + \frac{d}{d t} [15])}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $15$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{- (t^{2}) + 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.2

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (- 15)$ heraus.

$\frac{- (t^{2} - 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4

Schreibe $- (t^{2} - 15)$ als $- 1 (t^{2} - 15)$ um.

$\frac{- 1 (t^{2} - 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$ .

$- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$t^{2} - 15 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} = 15$

Schritt 2.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{15}$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \sqrt{15}$

Schritt 2.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \sqrt{15}$

Schritt 2.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{t}{t^{2} + 15}$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $t = \sqrt{15}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $t$ durch $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 15}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15}$

Schritt 4.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15}}{15^{1} + 15}$

Schritt 4.1.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{15}}{15 + 15}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $15$ und $15$ .

$\frac{\sqrt{15}}{30}$

Schritt 4.2

Berechne bei $t = - \sqrt{15}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $t$ durch $- \sqrt{15}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 15}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{15}$ an.

$\frac{- \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{15}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{1} + 15}$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- \sqrt{15}}{15 + 15}$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $15$ und $15$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{30}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{15}}{30}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{15}, \frac{\sqrt{15}}{30}), (- \sqrt{15}, - \frac{\sqrt{15}}{30})$

Schritt 5