Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

$3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $e^{x^{3} - 3 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $e^{x^{3} - 3 x}$ gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $e^{x^{3} - 3 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x^{3} - 3 x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.4

Setze $3 x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.4.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $e^{x^{3} - 3 x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{1 - 3 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$e^{1 - 3}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$e^{- 2}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{- 1 - 3 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$e^{- 1 + 3}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$e^{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, \frac{1}{e^{2}}), (- 1, e^{2})$

Schritt 5