Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x} + e^{- x}}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{8} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{8} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} e^{x} + \frac{1}{8} (- e^{- x})$

Schritt 1.1.5.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{1}{8} e^{x} - \frac{e^{- x}}{8}$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{8} - \frac{e^{- x}}{8}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x}}{8} - \frac{e^{- x}}{8}$ .

$\frac{e^{x}}{8} - \frac{e^{- x}}{8}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x}}{8} - \frac{e^{- x}}{8} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x}}{8} - \frac{e^{- x}}{8} = 0$

Schritt 2.2

Bringe $- \frac{e^{- x}}{8}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$\frac{e^{x}}{8} = \frac{e^{- x}}{8}$

Schritt 2.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$e^{x} = e^{- x}$

Schritt 2.4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = - x$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x = 0$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x = 0$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{e^{x} + e^{- x}}{8}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{8}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{8}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{8}$

Schritt 4.1.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1}{8}$

Schritt 4.1.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{8}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{8}$

Schritt 4.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, \frac{1}{4})$

Schritt 5